Ejercicio 6

DADA UNA CIRCUNFERENCIA, INSCRIBIR UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO Y UN CUADRADO

Los triángulos son polígonos, es decir, figuras planas que están formadas por una serie de segmentos. En el caso específico de los triángulos, se trata de polígonos compuestos por 3 segmentos (3 lados).

Cuando los tres lados del triángulo son iguales, estamos ante un triángulo equilátero. Esto quiere decir que los tres lados del triángulo tienen la misma longitud, por lo tanto, miden lo mismo.

Un cuadrado es una figura geométrica que tiene sus 4 lados y sus 4 ángulos iguales.

Los cuadrados forman parte del conjunto de los cuadriláteros (4 lados) y de los paralelogramos (lados paralelos).

Tras esta pequeña introducción, comencemos con el Ejercicio 6: Dada una circunferencia, inscribir un triángulo equilátero y un cuadrado.

6.1. - Triángulo equilátero inscrito en una cirunferencia

6.2. - Cuadrado inscrito en una circunferencia

Ejercicio 5

UTILIZANDO CASILLAS DE CONTROL REALIZAR UNA TRASLACIÓN, GIRO, SIMETRÍA AXIAL Y SIMETRÍA CENTRAL

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamañp de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. El resultado de una traslación es otra figura idéntica que se ha desplazado una distancia en una dirección determinada.

Los giros o rotaciones son movimientos alrededor de un punto que mantienen la forma y el tamaño de la figura original. Los giros se determinan según estos 3 elementos:

• Un ángulo, que determina la amplitud de la rotación.
• Un punto llamado centro de rotación.
• Un sentido de la rotación, que puede ser del mismo sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.

Se conoce como simetría axial a la simetría que existe en torno a un eje cuando la totalidad de los semiplanos que se toman desde una determinada mediatriz exhiben las mismas características.

Para determinar si existe la simetría axial, se considera que los puntos que pertenecen a una figura sean coincidentes con los puntos que forman parte de otra figura, tomando a modo de referencia el eje de simetría (una línea). De esta manera, la simetría axial supone un fenómenos similar al que ocurre cuando un espejo refleja una imagen.

Con la simetría axial, las figuras simétricas disponen de puntos homólogos: el punto A de una figura es homólogo al punto A´de la otra figura; el puno B de una figura es homólogo al punto B´de la otra; etc. 

La simetría central se considera a partir de un punto que se conoce como centro de simetría. Todos los puntos correspondientes en una simetría central se denominan puntos homólogos y permiten trazar segmentos homólogos que son iguales y que disponen de ángulos correspondientes que también miden igual.

Atendiendo a esta pequeña explicación podemos comenzar con el Ejercicio 5: Utilizando casillas de control realizar una Traslación, un Giro, una Simetría Axial y una Simetría Central.

Ejercicio 4

CREAR UN CONO, UN CILINDRO Y UNA ESFERA

Un cono es un cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada, que termina en un vértice, y un plano que forma su base. En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices de llama vértice o cúspide.

Un cilindro es un cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada y dos bases paralelas entre si. En geometría un cilindro es una superficie formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz del cilindro.

Una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cuyos puntos están a igual distancia de uno interior llamado centro.

Finalizado el repaso, comencemos con el Ejercicio 4: Crear un cono, un cilindro y una esfera.

Ejercicio 3

CREAR UNA PIRÁMIDE RECTA EN EL ESPACIO Y SU DESARROLLO

Una pirámide es un cuerpo geométrico que tiene como base un polígono cualquiera, y sus caras laterales son triángulos que se juntan en un vértice común.

Elementos de una pirámide:

Clasificación de las pirámides:

• Pirámide regular: aquella que tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.

• Pirámide irregular: aquella que tiene de base un polígono regular.

• Pirámide convexa: aquella cuya base es un polígono convexo.

• Pirámide cóncava: aquella cuya base es un polígono cóncavo.

• Pirámide recta: aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base.

• Pirámide oblicua: aquella en la que alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.

Una vez repasados estos conceptos, podemos proceder a la realización del Ejercicio 3: Crear una pirámide recta en el espacio y su desarrollo.

Ejercicio 2

CREAR UN PRISMA RECTO EN EL ESPACIO Y SU DESARROLLO

En geometría, un prisma es un cuerpo geométrico formado por dos caras planas poligonales, paralelas e iguales, y tantas caras rectangulares como lados tiene cada base.

Los prismas se pueden clasificar según 4 criterios:

- Según  el número de lados que tienen sus bases

• Prisma triangular: las bases son triángulos (3 lados).
• Prisma cuadrangular: las bases son cuadriláteros (4 lados).
• Prisma pentagonal: las bases son pentágonos (5 lados).
• Prisma hexagonal: las bases son hexágonos (6 lados)
• ...

- Regular o Irregular

• Prisma regular: un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares.
• Prisma irregular: un prisma es irregular si sus bases son polígonos irregulares.

- Recto u Oblicuo

• Prisma recto: Un prisma recto es un prisma en el que los bordes de unión y las caras son perpendiculares a las caras de la base.
• Prisma oblicuo: Un prisma oblicuo es aquel prisma en el que los bordes de unión y las caras no son perpendiculares a las caras de la base.

- Convexo o Cóncavo

• Prisma convexo: el prisma es convexo si sus bases son polígonos convexos.
• Prisma cóncavo: el prisma es cóncavo si sus bases son dos polígonos cóncavos iguales.

Después de haber repasado estos conceptos, estamos listos para realizar el Ejercicio 2: Crear un prisma recto en el espacio y su desarrollo.

Ejercicio 1

DADO UN TRIÁNGULO CONSTRUIR LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA Y CIRCUNSCRITA

Comenzaremos con un poquito de teoría

La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana donde todos los puntos están a la misma distancia del centro. Es importante no confundirla con el círculo, ya que este es la región del plano delimitado por una circunferencia y que posee área definida.

Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie).

En una circunferencia podemos encontrar diferentes elementos asociados a ella, que nos ayudarán a comprender mejor los ejercicios posteriores:

- Segmento: recta comprendida entre dos puntos.

- Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

- Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.

- Diámetro: linea recta que une dos puntos de una circunferencia pasando por el centro. Su longitud corresponde a la de dos radios.

- Tangente: linea recta que toca a la circunferencia en un solo punto. Este punto se denomina punto de tangencia.

- Secante: linea recta que pasa por la circunferencia atravesándola por dos puntos.

- Arco: porción de la circunferencia determinada por dos puntos.

Teniendo claro estos conceptos podremos entender mejor los de circunferencia inscrita y circunscrita:

La circunferencia circunscrita es la que pasa por todos los vértices de un polígono y contiene completamente en su interior a dicha figura.

La circunferencia inscrita es aquella que, siendo interior, es tangente a todos sus lados.

Después de este pequeño repaso, estamos listos para realizar el Ejercicio 1: Dado un triángulo, construir la circunferencia inscrita y circunscrita

1.1.- Circunferencia circunscrita a un triángulo.

1.2.- Circunferencia inscrita a un triángulo

UTILIZACIÓN EN PRIMARIA

GeoGebra puede servir de ayuda tanto al estudiante como al profesor. 

• Herramienta del estudiante: para realizar construcciones desde cero o para explorar en construcciones ya realizadas.
• Herramienta del profesor: para realizar materiales educativos estáticos (imágenes) o dinámicos (applets en páginas web).

En cualquier caso, sirve de ayuda para que los estudiantes puedan:

• Visualizar conceptos abstractos y relaciones entre objetos.

Construcción para ayudar a entender ("ver", "visualizar") el resultado de la adición de dos números enteros.

• Representar conexiones conceptuales.

Construcción para ayudar a relacionar sección y volumen de un cuerpo sólido, modificando cuerpos de revolución de una forma muy similar a como trabaja un alfarero.

• Experimentar con las matemáticas.

La posibilidad de incluir imágenes reales en la escena permite, por una parte, analizar las relaciones matemáticas que se puedan observar, y por otra, mostrar las diferencias entre un modelo ideal y uno real, así como la influencia del punto de vista fotográfico o pictórico.